Un modello matematico per calcolare la diffusione di un virus
di Irene Prunai
Mi accingo a fare la mia lezione online a una classe che quasi non conosco. Sono
arrivata nella loro scuola pochi giorni prima che gli studenti delle superiori
tornassero a cimentarsi con la D.A.D, la famosa didattica a distanza. Alcuni di
loro non li ho mai incontrati di persona e sono per me dei quadratini sul
programma di videochiamata. Armata di tavoletta grafica comincio il nuovo
argomento: le funzioni esponenziali. Sono le nove del mattino, sento che alcuni
stanno ancora facendo colazione e cominciare la giornata con il tintinnio dei
cucchiaini e qualche microfono spento non è incoraggiante. Eppure qualcuno di
sveglio c'è.
“Prof ma gli esponenziali sono quelli che servono per capire il virus?” dice un
quadratino che lampeggia sul mio pc.
Colgo la palla al balzo, forse oggi la lezione sarà meno noiosa e qualche
microfono spento si accenderà.
In questo particolare periodo storico si è assistito a un fenomeno a dir poco
straordinario. Alcuni argomenti matematici, anche piuttosto ostici, solitamente
confinati nei testi universitari di matematica, sono finiti sulla bocca di
molti. Nei talk show, sui social e alla fila in cassa al supermercato si è
cominciato a sentire parlare di indice erre con zero, modelli predittivi e curve
esponenziali.
Questo fatto è allo stesso tempo una buona e una cattiva cosa. È una buona cosa
perché tutta questa situazione sta contribuendo a liberare la matematica da
quell'idea di disciplina astratta che non serve a niente studiare. È una cattiva
cosa perché spesso mi capita di sentire una terminologia specifica usata a
sproposito.
Cerchiamo allora di fare un po' di chiarezza.
Per descrivere questa situazione si usa un modello matematico detto SIR. Questo
modello divide la popolazione in tre gruppi abbastanza grossolani. Il primo
gruppo è quello dei Suscettibili (S), cioè le persone che potrebbero essere
contagiate. Il secondo gruppo è quello degli Infetti (I), ovvero chi è già stato
contagiato. Il terzo e ultimo gruppo è quello dei Recovered (R), tutte le
persone che sono state contagiate ma che ne sono uscite e non possono più
trasmettere il virus.
Il modello prevede inoltre un indice, il famoso R0 (erre con zero) di cui tutti
parlano.R0 è il numero di persone che in media ogni individuo infetto contagia.
“Prof, ci faccia un esempio con i numeri così si capisce meglio!”
Allora parliamo di numeri. Se una certa malattia ha un indice R0 pari a 4 vuol
dire che in media un singolo malato infetterà quattro persone. La poliomielite
ha un R0 pari a 5, la parotite (gli orecchioni) ha un R0 pari a 10. Questo
ovviamente vale se nessuno è vaccinato.
Quando l'indice di contagio scende al di sotto di 1 allora ogni singolo infetto
non contagia più almeno un'altra persona e la diffusione della malattia si ferma
da sola.
Ma quindi quando l'indice supera il valore 1 cosa accade realmente? Prendiamo il
primo individuo infetto, il famoso paziente zero, e supponiamo che questo
infetti due persone. Queste due persone a loro volta ne infetteranno altre due,
che a loro volta ne infetteranno altre due ciascuna e via così a cascata. Questa
è la famosa crescita esponenziale che dovevo spiegare ai miei studenti.
La crescita esponenziale è la fase iniziale dell'epidemia che dipende da R0 e da
un altro importante fattore: l'intervallo di tempo che passa da quando una
persona viene infettata a quando ne infetta un'altra. Nel caso del Covid-19
l'intervallo di tempo è stimato sui 7 giorni, mentre per quanto riguarda
l'indice R0, come sappiamo tutti, in Italia è più alto di 1.
“Adesso ragazzi siete pronti per fare qualche esercizio!” Chissà perché a quel
punto molti hanno iniziato ad avere problemi di connessione.